数学家Erdos传(上)(17)

Riemann的这篇论文为素数分布理论的研究指明了方向，以后这方面所有的进展都是从他的思想中得来的。
1896年，两位年轻的数学家Hadamard和de la Vallée Poussin按照Riemann的思路，各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理，从而解决了这个有一个世纪历史的难题。后来Landau, Hardy-Littlewood等人利用函数论的知识给出了素数定理的新证明。 
以上各人的证明都需要利用ζ函数以及一些较深的分析工具。后来Wiener用实分析的方法证明了素数定理等价于"ζ函数的零点不在直线 Re(s)=1 上"。这就更让人相信，素数定理的证明必然要用到ζ函数以及高深的分析工具。
1921年，G.H.Hardy就曾经说过这样一段话："断言一个数学定理不能用某种方法证明，这可能显得过于轻率；但有一件事（素数定理没有初等证明）却是清楚的。如果有谁能给出素数定理的初等证明，那么他就将表明，我们过去关于数学中何谓'深刻'、何谓'肤浅'的看法都是错误的。那时我们就不得不把书本都抛在一边，重写整个理论。" 

Hardy逝世于1947年，他万万没有想到，就在他去世的两年后，两位年轻的数学家就推翻了他以及整个数学界的断言，用完全"初等"的方法给出了素数定理的证明，进而导致了整个素数理论的重写。 
注：Jacques Salomon Hadamard，法国数学家，在数学的许多方面均有贡献，被誉为Poincaré之后少有的多面手。 
Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin ，比利时数学家，他是国际数学联盟（IMU）首任主席。 
Norbert Wiener，美国数学家、哲学家，控制论的创立者，在调和分析、数学物理、概率论、泛函分析、非线性数学、生理学等许多方面都有巨大贡献。1964年获美国国家科学奖章。 
－－28－－ 
我很同情非数学家，我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报。--Selberg 
1949年，两位年轻的数学家，31岁的Selberg和35岁的Erdos分别独立地证明了素数定理。与以往的证明不同的是，他们的证明没有用到ζ函数，而且除了极限、e^x和log(x)的简单性质外，没有用到任何高等数学的知识，甚至连微分和积分都没有用到！可以说，他们给出的是一个完全"初等" 的证明，这一结果轰动了整个数学界。