数学家Erdos传(上)(16)

在Gauss的一生中，肯定曾花费了不少时间和精力来思考这个从少年时便开始困惑他的难题，但我们没有Gauss关于这个问题的研究记录，所以也无法知道他在这个问题上究竟走了多远，不过十有八九是他并没有解决这个猜想。 
注：Carl Friedrich Gauss，主要生活在19世纪的德国数学家。他通常被认为是历史上最伟大的三位数学家之一，另外两个是Archimedes和Newton. 
Adrien-Marie Legendre，活跃于大革命前后的法国数学家，在数学的许多方面都作出了重要贡献。
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高等算术（即数论--编者注）中一些最美丽的定理具有这样的特性：它们极易从经验事实中归纳出来，但其证明却隐藏得极深，只有高人一等的研究者才能把它们挖掘出来。正是出于此种原因，赋予高等算术以神奇魅力，使之成为第一流数学家们最喜爱的科学。至于它远远凌驾于数学其他各分支之上的无限丰富性，那就更不必提了。--C.F.Gauss 
首先对素数定理的研究作出了重要贡献的是Chebyshev. 他证明了存在两个正常数C_1和C_2 ，使不等式 

x x 
C_1 --- ≤π(x)≤C_2 --- 
log(x) log(x) 
对充分大的x成立，并且相当精确地定出了C_1和C_2的数值。他还证明了 
π(x)log(x) ＿＿ π(x)log(x) 
lim ----- ≤1≤lim ----- 
￣￣ x x 
x→∞ x→∞ 
也就是说，如果π(x)log(x)/x 的极限存在，则必定是1. 这些无疑都是很重要的进展，但不幸的是，用Chebyshev的方法无法证明最后的结果。
1859年，Riemann发表了题为"论不超过一个给定值的素数个数"的论文，这是他唯一一篇关于数论的论文。在这篇仅8页的论文里面，Riemann 首次深刻而系统地研究了ζ函数 
∞ 1 
ζ(s)=Σ -- 
n=1 n^s 
的性质。并且指出，素数的分布与ζ函数，特别是ζ函数的零点的性质有着密切的联系。在这篇文章里，他还提出六个关于ζ函数的猜想，其中一个就是著名的 Riemann假设：ζ(s)的所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=https://wimgs.ssjz8.com/upload/1/2 上。