自然底数的前世今生(5)

那么这个数有什么用处呢?
随着微积分的继续发展 ，人们不可避免的需要解决一大堆微分方程的问题。有些函数表达式我们是可以很轻松的写出来的，这种函数常见于中学的初等数学中，而现实中 绝大部分的函数关系是无法直接得出，人们仅仅知道这个函数与其导函数关系，甚至与二次导函数的关系，需要解出含有导数的方程才能得到相关函数。
而正是从上面的推导，我们发现有一类函数十分特殊，他的任意次导数都具有形式不变性，那就是指数函数，可以看到，求导之后除了多了一个系数之外，其余部分根本没有变化。而且，我们还可以把底数的值赋以更加特殊的值，，这样，甚至连系数都不会多，任你求导来，我还是原来那个我。正是因为这样的性质，导致在求解微分方程的时候会大量的出现以自然底数为底的指数函数的表达式，因为很多微分方程都是函数本身与其导数，或者二次导数有关。例如，理想情况下的种群增长模型，电学中的电容电压随时间的变化关系与电感中电流随时间变化的关系。这些表达式都含有自然底数的指数函数。同时，在复变函数中，自然底数又和旋转量的表达息息相关。也因此让自然底数成为了工科中分布极广的常数。