有关数学的读后感精练(26)

什么是有价值的，什么是价值不大的，什么该淘汰，这应由历史而不是人为决定。希尔伯特尽管谨慎地提出了23个问题，但他也同时警告说，预先去判断一个问题的价值往往是不可能的。现在看来，这些问题中有一部分之价值在数学发展史上确实没有当初想像的那么大。庞加莱说过，“要想预见数学的未来，适当的途径是研究它的历史与现状。”《什么是数学》选择了一些有价值的领域，这些领域都是发展成熟的，并且也是引人入胜的。
《什么是数学》的内容错落有致，层次分明。数学的三大版块——代数、几何和分析按章依次加以阐述。作者也注意到不同章节适当的衔接。全书从自然数谈起，然后引申到数论和数系的扩充，直到集合这个最一般的客体。第三章又转入几何作图，并与数域代数联系在一起。接下来的两章，作者从射影几何、非欧几何一直谈到拓扑学。最后三章重点阐述微积分及其应用。
数学或相关学科的重大问题，一直是发展数学理论的源泉和刺激。问题的重要性不在于难易程度，也不在于是否“高等”。通过穿插书中的一个个问题，我们可以看出活生生的数学研究过程。就拿解代数方程来说吧。由于提升了次数，便与几何作图联系起来，最终的发现是丰厚的：一是复数和代数基本定理的提出；二是群论的发明。另一方面，提升方程的元数，则导致矩阵、线性空间的概念，最终与群也有关系。单单一个解方程就搞出那么多名堂！
微积分是一个与代数方程有较大差异的领域，亦始终由一些有趣问题而触发。这些问题更多地来自物理，最著名的是最速降线、三体问题和关于肥皂膜张成极小曲面的普拉托问题；也有纯数学问题，如四色问题。这些表面上看起来毫不相干的问题，使得数学家将微积分拓展到微分方程、变分法、拓扑学和微分动力系统等重要分支。作者还加入了不少著名的“初等极值问题”，如等周问题、光路三角形、最短网络等。不仅增加了可读性，而且强调了这些历史名题对数学发展不可磨灭的功勋。
问题的提出是为了解决问题和提出新问题，最终目的不是炫耀自己的解题本领，而是强化理论武器，达到更高的境界和更广的视野。所以数学家不是工程师，整部数学史是数学家找问题，而不是问题找数学家。工程师、医师总希望问题少点好，而数学家恰恰相反。书中对问题背后新概念的把握可谓丝丝入扣，读来经常有得到“提升”的感觉。几个世纪以来，数学家把零零碎碎的问题在根子上寻找统一的努力，无疑树立了人类理性的伟大里程碑。