学习日记 35

A是n阶方阵，证明:A^2＝E的充要条件是r(A E) r(A-E)＝n.
必要性:已知A^2＝E，故(A E)(A-E)＝0，r(A E) r(A-E)≤n,又r(A E) r(A-E)＝r(E A) r(E-A)≥r(E A E-A)＝r(2E)＝n.因此r(A E) r(A-E)＝n.

充分性:已知r(A E) r(A-E)＝n，则
矩阵的分块初等变换
因此
而r(E)＝n，故r(A^2-E)＝0
A^2＝E